机器学习

大纲

机器学习

一般流程

原始数据：表格、图片、视频、文本、语音、……

特征工程：

• 提取：选取、构造对目标任务有用的潜在特征
• 处理：无序的离散类别特征 → 数值特征，缺失处理，标准化
• 变换：对特征进行挑选或映射得到对目标任务更有效的特征

模型学习：最核心的部分，学习一个用来预测的映射

监督学习

所有样本都有类别标记

任务类型：

• 二分类：$y \in \{ 1, -1 \}$或者$y \in \{ 0,1 \}$
• 多分类：$y \in [C] = \{ 1, 2, \ldots, C \}$
• 回归：$y \in \Rbb$或连续集合
• 结构预测：$y$可以是向量、序列、语法树、……

二分类示例

多分类示例

混淆矩阵

回归

线性回归：用最小二乘求解超定方程组 (方程个数比未知数多)

无监督学习

所有样本都没有类别标记

任务类型：

• 聚类 (clustering)：依相似度将数据分成$K$个簇 (cluster)
• 降维/嵌入：为样本学习新的特征
• 密度估计：估计样本空间的概率密度$\Pr(\xv)$，寻找数据的生成机制

聚类

• 原始数据由 6 个簇组成
• K 均值算法指定聚成 4 个簇，每种颜色对应一个簇，菱形为簇中心

密度估计

• 直方图是最简单的密度估计方法 (数数)，对区间的选择极其敏感
• 核密度估计：$\rho(\zv) = \sum_{i \in [m]} \kappa ((\zv-\xv_i)/\sigma)$

密度估计

• 核密度估计：$\rho(\zv) = \sum_{i \in [m]} \kappa ((\zv-\xv_i)/\sigma)$

大纲

机器学习方法分类

米哈尔斯基 等《机器学习：一种人工智能途径》
Machine Learning: An Artificial Intelligence Approach

• 从样本中学习
• 在问题求解和规划中学习
• 通过观察和发现学习
• 从指令中学习

费根鲍姆 等《人工智能手册》
The Handbook of Artificial Intelligence

• 机械学习，死记硬背式学习，信息存储检索
• 示教学习，类似于“从指令中学习”
• 类比学习，类似于“通过观察和发现学习”
• 归纳学习，类似于“从样本中学习”，目前研究最多、应用最广

机器学习流派

多明戈斯 Pedro Domingos
《终极算法》The Master Algorithm

• 符号学派：规则学习，决策树
• 连接学派：感知机，神经网络
• 进化学派
• 统计学派：朴素贝叶斯，贝叶斯网
• 类推学派：k-近邻，支持向量机

灵魂问题：哪个算法更好？

没有免费的午餐定理 (No Free Lunch Theorem, NFL 定理)

• 脱离具体的问题空谈什么算法好没有意义
• 学习算法自身的归纳偏好应与问题相匹配

约还是不约？

女人心海底针 让机器学习读心术来拯救你

符号学派

用“若……且……且……则……”形式的合取规则覆盖数据

$(\text{方式} = \text{逛街}) \wedge (\text{温度} = \text{暖和}) \rightarrow \text{约会}$

• 可解释强，用户可以秒懂
• 学习中易于引入人类知识

连接学派

用带阈值的线性函数拟合数据

$\sgn(w_0 + w_1 \times \text{次序} + \cdots + w_5 \times \text{电视}) \rightarrow \{\text{是}, \text{否}\}$

• 知识是分布式存储的，由权重系数$w_0, w_1, \ldots, w_5$表示
• 将上述函数广泛并行串联就是神经网络

统计学派

利用贝叶斯公式求后验概率

$\Pr (\text{约会}|\text{次序},\ldots,\text{电视}) = \frac{\Pr (\text{次序},\ldots,\text{电视}|\text{约会}) \Pr (\text{约会}) \qquad \quad}{\Pr (\text{次序},\ldots,\text{电视}) \qquad}$

• 先验$\Pr (\text{约会})$反映了在没有任何信息的情况下成功约会的信念
• 数据通过似然$\Pr (\text{次序},\ldots,\text{电视}|\text{约会})$调整我们对成功约会的信念

类推学派

借鉴相似的样本，据此做预测

• 过往越相似的样本，参考价值越大
• 对待预测的样本 5，其与样本 3、样本 4 均只有一个属性不同
• 根据样本 3、样本 4 的经验进行预测，答应约会的概率为 50%

模型评估 回归

给定模型$f$、数据集$D = \{ (\xv_i, y_i) \}_{i \in [m]}$

均方误差 (mean squared error, MSE)

$$ \begin{align*} E(f;D) = \frac{1}{m} \sum_{i \in [m]} (f(\xv_i) - y_i)^2 \end{align*} $$

>>> from sklearn.metrics import mean_squared_error

>>> y_true = [3, -0.5, 2, 7]
>>> y_pred = [2.5, 0.0, 2, 8]

>>> mean_squared_error(y_true, y_pred) # MSE
0.375

>>> mean_squared_error(y_true, y_pred, squared=False) # RMSE
0.6123724356957945

模型评估 分类

给定模型$f$、数据集$D = \{ (\xv_i, y_i) \}_{i \in [m]}$

错误率 (error rate)、精度 (accuracy)

$$ \begin{align*} E(f;D) = \frac{1}{m} \sum_{i \in [m]} \Ibb (f(\xv_i) \ne y_i), ~ \acc(f;D) = 1 - E(f;D) \end{align*} $$

>>> from sklearn.metrics import accuracy_score

>>> y_true = [0, 1, 2, 3]
>>> y_pred = [0, 2, 1, 3]

>>> accuracy_score(y_true, y_pred) # 百分比
0.5

>>> accuracy_score(y_true, y_pred, normalize=False) # 正确分类的个数
2

查准率 查全率 F1

二分类结果的混淆矩阵 (confusion matrix)

查准率 (precision)：预测的约会中有多少比例真的约会了

查全率 (recall)：所有的约会中有多少比例被预测出来了

$$ \begin{align*} & \mathrm{precision} = \frac{\TP}{\TP + \FP}, \quad \mathrm{recall} = \frac{\TP}{\TP + \FN} \\[4pt] & \mathrm{F1} = \frac{2 \times \mathrm{Precision} \times \mathrm{Recall}}{\mathrm{Precision} + \mathrm{Recall}} = \frac{2 \times \TP}{\text{样本总数} + \TP - \TN \quad} \end{align*} $$

查准率 查全率 F1

>>> from sklearn.metrics import confusion_matrix
>>> from sklearn.metrics import precision_score, recall_score, f1_score

>>> y_true = [1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0]
>>> y_pred = [0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0]

>>> cm = confusion_matrix(y_true, y_pred, labels=[1,0])
>>> cm
array([[3, 1],
       [2, 2]])

>>> tp, fn, fp, tn = cm.ravel()
>>> tp, fn, fp, tn
(3, 1, 2, 2)

>>> precision_score(y_true, y_pred)
0.6

>>> recall_score(y_true, y_pred)
0.75

>>> f1_score(y_true, y_pred)
0.6666666666666665

模型选择 回归

选择宗旨：在未知数据上表现好，即泛化 (generalization) 好

给定模型$f$、训练数据集$D = \{ (\xv_i, y_i) \}_{i \in [m]}$，其中$\xv_i \sim \Dcal$

训练 (training) 均方误差、经验 (empirical) 均方误差

$$ \begin{align*} E(f;D) = \frac{1}{m} \sum_{i \in [m]} (f(\xv_i) - y_i)^2 \end{align*} $$

泛化均方误差

$$ \begin{align*} E(f;\Dcal) = \Ebb_{\xv \sim \Dcal} [(f(\xv) - y)^2] = \Ebb_{D \sim \Dcal^m} [E(f;D)] \end{align*} $$

模型选择 分类

选择宗旨：在未知数据上表现好，即泛化 (generalization) 好

给定模型$f$、训练数据集$D = \{ (\xv_i, y_i) \}_{i \in [m]}$，其中$\xv_i \sim \Dcal$

训练 (training) 错误率、经验 (empirical) 错误率

$$ \begin{align*} E(f;D) = \frac{1}{m} \sum_{i \in [m]} \Ibb (f(\xv_i) \ne y_i) \end{align*} $$

泛化错误率

$$ \begin{align*} E(f;\Dcal) = \Ebb_{\xv \sim \Dcal} [\Ibb(f(\xv) \ne y)] = \Ebb_{D \sim \Dcal^m} [E(f;D)] \end{align*} $$

欠拟合 过拟合

训练集：余弦函数中随机采样的$30$个点加上$0.1$的随机噪声

学习算法：$n$阶多项式回归，$n=1$即为线性回归

$$ \begin{align*} \min_{w_j} ~ g (w_j) = \frac{1}{2} \sum_{i \in [30]} \left( \sum_{j=0}^n w_j x_i^j - y_i \right)^2 \end{align*} $$

其中$w_0, w_1, \ldots, w_n$为待求参数

目标函数$g$关于$w_j$的偏导数为

$$ \begin{align*} \frac{\partial g}{\partial w_j} = \sum_{i \in [30]} \left( \sum_{j=0}^n w_j x_i^j - y_i \right) x_i^j \end{align*} $$

欠拟合 过拟合

左图：1 阶多项式欠拟合 (underfitting)

中图：4 阶多项式拟合地最好

右图：15 阶多项式过拟合 (overfitting)

模型选择 验证

事先选定合适的模型 (归纳偏倚) 很重要！

从训练集中随机选择一部分样本作为验证集 (validation set)

• 在剩余的训练集上训练一个学习模型
• 在验证集上计算模型的误差

据此比较多个候选模型的性能

交叉验证 (cross validation)：将训练集平均分为$n$份，每轮

• 在其中$n-1$份上训练一个学习模型
• 在剩余的$1$份上计算模型的误差

迭代$n$轮取平均，据此比较多个候选模型的性能

偏差方差分解

对任意样本$\xv$，设

• $y$为其真实标记
• $y_D$为其在数据集$D$中的标记，可能不等于$y$，即存在噪声
• $f(\xv;D)$为数据集$D$上的训得的模型$f$对$\xv$的预测

对回归任务，样本数相同的不同数据集$D \sim \Dcal^m$，学习算法的

• 噪声为$\varepsilon^2 = \Ebb_D [(y_D - y)^2]$，并假定噪声期望为零，即$\Ebb_D [y_D - y] = 0$
• 期望预测为$\bar{f}(\xv) = \Ebb_D [f(\xv; D)]$
• 预测方差为$\var(\xv) = \Ebb_D [(f(\xv; D) - \bar{f}(\xv))^2]$，数据扰动造成的影响
• 预测偏差为$\bias^2(\xv) = (\bar{f}(\xv) - y)^2$，学习算法本身的拟合能力

下面考虑对期望泛化误差$\Ebb_D [(f(\xv; D) - y_D)^2]$进行分解

偏差方差分解

$$ \begin{align*} & \qquad \Ebb_D [(f(\xv; D) - y_D)^2] \\ & = \Ebb_D [(f(\xv; D) \class{yellow}{- \bar{f}(\xv) + \bar{f}(\xv)} - y_D)^2] \\ & = \underbrace{\Ebb_D [(f(\xv; D) - \bar{f}(\xv))^2]}_{\var(\xv)} + \Ebb_D [(\bar{f}(\xv) - y_D)^2] \\ & \qquad \qquad + 2 \Ebb_D [(f(\xv; D) - \bar{f}(\xv))(\bar{f}(\xv) - y_D)] \\ & = \var(\xv) + \Ebb_D [(\bar{f}(\xv) - y_D)^2] + 2 (\bar{f}(\xv) - y_D) \underbrace{\Ebb_D [(f(\xv; D) - \bar{f}(\xv))]}_{0} \\ & = \var(\xv) + \Ebb_D [(\bar{f}(\xv) \class{yellow}{- y + y} - y_D)^2] \\ & = \var(\xv) + \Ebb_D [(\bar{f}(\xv) - y)^2] + \underbrace{\Ebb_D [(y - y_D)^2]}_{\varepsilon^2} + 2 \Ebb_D [(\bar{f}(\xv) - y)(y - y_D)] \\ & = \var(\xv) + \underbrace{(\bar{f}(\xv) - y)^2}_{\bias^2(\xv)} + \varepsilon^2 + 2 (\bar{f}(\xv) - y) \underbrace{\Ebb_D [y - y_D]}_{0} \\ & = \var(\xv) + \bias^2(\xv) + \varepsilon^2 \end{align*} $$

偏差方差分解